Электронные путевые листы действительны только при использовании электронных подписей.

Да, если вы оформили путевой лист, прошли медосмотр, техосмотр, и отправили путевой лист в ГИС ЭПД. Вам должно прийти сообщение, что ваш путевой лист успешно загружен и ему присвоен уникальный идентификатор.

Убедитесь, что использование государственного сервиса электронных путевых листов ГИС ЭПД разрешено законодательно

Да, это безопасно. Файл с расширением *.cer является открытым ключом электронной подписи (в терминологии 63-ФЗ от 06.04.2011 "Ключом проверки электронной подписи") и не содержит секретной информации.
Открытый ключ электронной подписи, имеющий публичный отпечаток, предназначен только для проверки электронной подписи и шифрования информации.
При этом открытую часть ключа электронной подписи можно без опасений передавать, не нарушая нормативно-правовых актов и не рискуя сохранностью данных.

Если у сотрудника работает устройство, то сотрудник обязательно найдет ваш путевой лист. Назовите сотруднику УИ (Уникальный Идентификатор электронного путевого листа), он сможет уточнить наличие путевого листа по телефонной связи.

Сервис "Путевойлист.РФ" можно использовать на мобильных устройствах. Подписание документов может производится должностными лицами со стационарных рабочих мест. Также возможно подписание через специальное приложение с вашего мобильного устройства, защищенное паролем. В скором времени появится возможность подписания документов через приложение "Госключ".